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在日本的闭关锁国时代(1639年到1854年)，土生土长的数学曾获得高度发展，这可以从所谓“算匾”——即刻有几何问题、悬挂在神祠和庙宇的屋顶下的木制书板——看出来。

在世界各地数不胜数的各种习俗和传统中，或许没有一种比得上日本的算匾(sangaku，即庙宇几何学)这一传统那样绝妙，那样精美。从1639年到1854年，日本处于一种与西方世界彻底地自我隔绝的状态中。对所有各种形式的西方文化的接触均受到压制，西方科学思想的流入实际上被切断了。在这一段闭关锁国时期，一种土生土长的数学曾在日本发展起来。

数学爱好者——显然是武士、商人和农夫等一一常常求解各种各样的几何问题，把他们的成果刻在色彩精致的木制书板上并悬挂在宗教建筑的屋顶下。这些所谓“算匾”——此词的字面意义就是数学书匾一一可能是表示敬意的行动(感谢指点迷津的神灵)，也可能是对其他朝拜者的赤裸裸的挑战：有本事的话就把它解出来!

大部分算匾涉及的都是通常的欧几里得几何。但是这些问题与通常的高中几何课程中的问题明显不同。这些问题中圆和椭圆所占的地位比西方问题中要突出得多——椭圆内套圆、圆内套椭圆等等。其中有些问题非常简单，刚进高中的学生也能解出来。另外一些问题则是几乎无法对付的，现代数学家们总是用高等的方法——包括微积分和仿射变换一来求解它们。大多数这类问题在今天将被划入趣味数学或教育数学的范畴，但有少数几个问题在时间上却早于西方的已知成果，例如Malfatti定理、Casey定理和Soddy的六圆定理。有一个问题重新得出了笛卡尔圆定理这一成果。许多书板制作得非常精美，可以看作是艺术品。

取悦于神

人们自然想知道算匾是何人在何时发明的，然而这类问题是问起来容易答起来难。早在算匾问世之前几个世纪，日本就存在把书板悬挂在神祠的习俗了。日本本国的宗教(即神道)信奉“八百万神”。据说神喜欢马，因此不能向神祠供奉一匹活马作为牺牲的信教者们可以用画在木板上的马来代替。因而许多15世纪或更早时期的书板上画的是马。

至于算匾本身，现存的最早书板是在枥木县发现的，该书板的时间为1683年。另一块来自京都的书板时间为1686年，还有一块是1691年。数学家KazuYamaguchi十九世纪的旅游日记提到了一块更早的书板(现在已丢失)，时间为1668年。因此，历史学家们猜测，这一习俗最初出现于十七世纪后半叶。1789年，第一部收集了典型的算匾问题的著作在日本出版发行。其它类似的算匾集锦在十八世纪和十九世纪陆续问世。这些著作有的是手抄本，有的是用木版印刷的，制作得相当漂亮。有800多部书板保存至今，此外在各种算匾集锦中还提到了其它数百部。对现存算匾所进行的一项调查显示，这些书板看来是相当均匀地遍布整个日本，农村和城市地区都有，而在神道圣祠中的书板约为寺庙中的书板的两倍左右。

现存的大多数算匾都包括一个以上的定理，并且常常是色彩鲜艳。这些定理的证明通常都没有给出，只列出了结果。其它资料一般包括提出问题者的姓名和日期。并不是所有问题都是关于几何学的。有的问题是求各种立体的体积，因而需要使用微积分学。(这就提出了一个令人感兴趣的问题：解题者们究竟是用的什么样的方法?本文后面将提出一些猜测。)其它一些书板则载有丢番图问题——也就是求代数方程的整数解。

在现代，除了少数几位热心于研究日本传统数学的人以外，算匾已基本上被人们遗忘了。这几位研究者中有爱知县的一位高中教员Hidetoshi Fukagawa(爱知县大致位于东京到大坂的中途)。大约30年前，Fukagawa决定研究日本数学史，希望由此能发现一些讲授其课程的更好方法。一本图书馆的旧书提到了数学书板，这使他大为惊讶，因为他以前从未听说过此事。从那以后，拥有数学博士学位的Fukagawa便广泛周游了日本以研究书板，并收集了一批不仅涉及算匾问题，而且涉及整个日本传统数学的书籍。

为了进行自己的研究，Fukagawa不得不自学了汉文(Kambun)，即与汉语密切相关的一种古体日文。汉文相当于日本的拉丁文；在江户时代(1603—1867年)，科学书籍都是用这种语言写的，而在当代日本仅有极少的人能够流利地阅读它。在新的书板被发现后，Fukagawa被请去译解这些书板。1989年，Fukagawa同DanielPedoe合作，发表了用英文写成的第一部算匾问题集。本咬所附的大部分几何问题均取自该书。

和算对洋算

虽然算匾的起源难于精确确定，但可以把这一起源限制于本地。日语中有一个词叫“和算(wasan)，指的是江户时代日本特有的数学。与和算相对的是“洋算(yosan)，指的是西洋传来的近代数学。为了了解和算是如何出现的——以及不同寻常的算匾问题是如何随它而出现的——首先有必要考察一下日本数学的独特历史。

关于最早时代的日本数学，现在能够确切知道的东西是少之又少，除了一种指数记数法之外(这种指数记数法同阿基米德在“数砂法(SandReckoner)中所使用的记数法类似）。比较确切的资料仅从公元六世纪中期开始，当时佛教——还有中国的数学——传入了日本。根据公元八世纪初日本官方学校所教的课本来看，历史学家们推断日本当时已经从中国引进了一些重要的算术、代数和几何学的经典著作。

传说这些经典著作中最早的一部是“周髀算经”该书中有毕达哥拉斯定理(勾股定理)的一个实例，同时还有用于证明该定理的图形。该著作的这一部分可追溯到至少公元前六世纪。

“九章算术——据认为是影响最广泛的一部中国数学著作——则介绍了更高级的数学知识。九章算给出了求三角形、四边形、圆和其它图形的面积的方法。该书中还有一些令今天的许多高中生头疼的那类简单的文字题。设若五牛加二羊值八两金子，二牛加八羊亦值八两金子，则牛羊各价几何?九章算术的精确年代也无法确定，但该著作的大部分可能是在公元前三世纪以前成书的。如果此说正确，则九章算术就是已知的第一部提到负数的著作，也是对二次方程进行了论述的早期著作之一。(据某些历史学家说，古埃及人研究二次方程的时间还要早几个世纪，大约在公元前2000年之前。)

尽管中国的知识传入了日本，但数学当时并未在日本扎下根来。相反，日本那时进入了一个黑暗时期，大致同西欧的黑暗时期处于同一个时代。在西方，教会和修道院成了学术中心；而在日本，寺庙起着同样的功能，尽管数学似乎并没有起多大的作用。根据某些人的说法，在Ashikaga将军统治时代(1338—1573年)，整个日本很难找到一个精通除法的人。

直到进入十七世纪后，才算有了关于日本数学家的确切的历史记载。这些数学家中的第一位是KambeiMori，他事业上的高峰期是在1600年左右。虽然Mori的著作只有一部——一本小册子——流传下来，但已经知道他在发展日式算盘(soroban)的算术计算方法以及在全国普及算盘方面发挥了关键的作用。

现存的有重大价值的古代日本数学著作中，最古老的一部是Mori的学生KoYu Yoshida(1598—1672)写的。这部名为“Jinkoki”(字面意义就是“大数与小数”) 的书发表于1627年，它还谈到了算盘的用法问题。该书的影响是如此之大，以致它的书名常常成了算术的同义语。由于这部著作的巨大影响，计算——而不是逻辑推理——成了日本传统数学中最重要的概念。如果把和算的创立归功于个人是有道理的话，那么这一荣誉或许当之无愧地应归于Mori和Yoshida。

辉煌的成果

然而，和算与其说是少数几个人创立的，不如说是一个大得多的群体共同努力创立的。1639年，执政的德川幕府将军(当时是江户时代)为了加强其权力并削弱对它的统治的挑战，下令日本正式闭关锁国。在这一所谓“锁国”(sakoku)时期，日本政府取缔外国书籍，禁止外国人在日本旅行，迫害基督教徒，并不准葡萄牙和西班牙的船只靠岸。这些限制措施有许多延续了两个多世纪，直到1854年，美国海军将领Matthew C．Perry才以一支美国舰队为后盾，迫使日本政府结束了锁国政策。

然而这一孤立政策并不是完全消极的。事实上，在十七世纪后期，日本的文化和艺术的繁荣达到了辉煌的程度，以致这些年代被称为“元禄时代”(元禄(Genroky)就是复兴的意思)。在这个时代中，俳旬(日本式短诗)发展成了一种精美的艺术形式；能乐(日本的一种古典歌舞剧)和歌舞伎(日本的一种传统戏剧)达到了其发展的顶峰：浮世绘(日本江户时代的风俗画)也诞生了；而茶道和花道也发展到了新的高度。数学并没有落后，因为元禄时代也是KowaSeki的时代。

流行的说法认为，Seki(1642—1708)是日本的伊萨克·牛顿或哥特弗里德·威廉·莱布尼茨，尽管很难用具体的事实来证明这一称誉。如果认定是出自他的手的大批手稿没有弄错的话，那么他的大部分工作都已经失传了。然而，毫无疑问，Seki留下了不少门徒，他们对于推动日本数学的进一步发展起了很大影响。

Seki的第一项成就——也是无可争议的成就——是他关于判别式的理论，这一理论比莱布尼茨的理论更有力，而且比莱布尼茨的工作早了至少十年。另一项同庙宇几何学的关系较大、但其起源存在争议的成就，则是建立解高次方程的方法。(那一时代的日本传统数学有很大一部分涉及几百次的方程：一个这样的方程为1458次。)第三项有时被归功于Seki的成就——它也可能与算匾有关——则是建立圆理”(enri)，即关于圆的原理。

圆理同古希腊的数学家Eudoxus和阿基米德在计算圆的面积时所用的穷尽法非学相似，主要的区别在于，Eudoxus和阿基米德用n边形去逼近圆，而圆理则把圆分为n个矩形。因此，取极限的过程多少有些不同。但是圆理是积分学的一种初步形式，后来它被推广到其它一些图形上(包括球和椭圆)。在同一时期，一种微分学也得到了发展。可以想象，圆理和其它类似的方法曾被用到算匾问题上。今天的数学家们将使用近代微积分学的方法来求解这些问题。

椭球内的球体

在Seki的时代，运用圆理的首批著作问世了，而第一批算匾显然也在这个时期出现。这两个年代几乎可以肯定不是巧合的。Yoshida和Seki的门徒必定对和算的发展产生了影响，而和算反过来也可能影响了他们。Fukagawa相信，Seki在前往幕府城堡担任宫廷数学家一职时的途中遇到了算匾，而这些算匾推动他进行了更深入的研究。这是一个传说吗? 或许是的。但是到下一个世纪时，载有典型的日本式数学问题的著作发表了(此类问题包括三角形内的圆、棱锥内的球体以及椭球内的球体等。)这些著作中的问题与算匾上的问题并无重大区别，因此，很难回避这样一个结论：所有和算问题——包括算匾问题在内——的特有风格是日本实行的闭关锁国政策的直接结果。

但是人们马上会提出这样一个问题：日本的闭关真的是滴水不漏的吗?可以肯定的是，除了一批荷兰人获准继续留在日本最南边的大岛——九州岛上的长崎港以外，所有西方商人都被赶出了日本。同样清楚的是，日本人自己也受到了严格的限制。单是出国旅行这一行动就构成了重大的叛国行为，可能被处以死刑。可以有把握地认为，即使闭关政策并非完全滴水不漏，也差不多达到这一地步了。因此，即令日本数学曾接受了外来影响，那么这种影响也将是微乎其微的。

这一情况到十九世纪开始发生变化。在十九世纪，和算逐渐被洋算排挤，这一过程导致了一些用汉文和西方数学符号夹杂着写成的数学手稿的出现。此外，在Perry将军迫使日本开关、德川幕府的统治在1867年倒台以后，日本新政府放弃了对本国传统数学的研究，转而推崇洋算。然而，直到进入二十世纪之后很久，有些研究数学问题的人仍在挂出算匾。有些算匾甚至是本世纪九十年代的。但本世纪的几乎所有算匾问题均属抄袭之作。

最后一个也是最令人感兴趣的一个问题是，这些算匾是谁做的?如此精美地绘制在木板上的这些定理是职业数学家还是业余数学爱好者的成果?关于这个问题现在并没有多少证据。

在“日本数学史”(David E．Smith和Yoshio Mikami合著)这部权威著作中，仅提到了很少几个算匾。Smith和Mikami引用了一位专业数学家Kagen Fujita在1789年发表的算匾问题集，名为“神壁算法(Shimpeki Sampo，意为“悬挂在庙宇前的数学问题。)Smith和Mikami提到，有一块算匾在问题的解决之后附上了下面这样一段文字：“Enshu地方的Kakegawa领地，1795年3月，Sonobei KeichiMiyajima，Seki书院Sadasuke Fuiita的学生。”Mikami在他的“中国和日本数学的发展”一书中提到了柢园寺问题，这是EnriNishimura的学生EnkyuTsuda悬挂在京都祗园寺的一块算匾。此外，这些算匾是用专门的汉文写的，显示了做书匾的人属于知识阶层。

从上面这样一些零星的资料来看，人们可能会倾向于得出这样一个结论：算匾主要是专业数学家及其学生们创作的。然而我们有理由相信情况并非如此。

许多算匾问题都属于初等的问题，其解法只有几行。这些问题不属于专业数学家发表的那类成果。Fukagawa发现，三重县的一块算匾上刻的是一位商人的名字。其它一些算匾上则有妇女和儿童(年龄在12到14岁)的名字。据Fukagawa说，大多数算匾是由文化程度较高的武士阶层的成员创作的。少数算匾可能出自农夫之手。Fukagawa回忆说，10多年前，他曾拜访过数学家SenSakuma(1819—1896)的乡问故居。Sakuma曾在福岛县向附近村庄中的农夫讲授和算的知识。他有大约2千名学生。

这种教育使人想起江户时代本身，当时日本没有学院和大学。在那段时期，教育是由私立学校或寺庙承担的，平民在这里学习读书、写字和珠算。由于外行人更经常被几何问题而不是代数问题所吸引。因此这些算匾以如此高的艺术水平精致地绘制出来以引起非数学家的兴趣就完全不是什么出人意外的事了。

因此，对于“谁创造了寺庙几何学?”这个问题，最好的答案或许是“所有的人。在获知关于算匾的事情后，Fukagawa开始认识到，在那个时期，许多日本人都喜欢数学、诗和其它形式的艺术，并从中领略到极大的乐趣。

有些算匾是被几何学的精美深深迷住了的普通数学爱好者的研究成果，认识到这一点是十分令人高兴的。情况可能是，一位乡村教师在教了一整天的书以后，或者是一位武士在把他的剑磨锋利之后，将躲进他的书房，点亮一盏油灯，忘掉世界上的一切，全神贯注地投入一个涉及球和椭球的复杂数学问题中。或许他将用好几天的时间安安静静地冥思苦想这个问题。当他最终找到答案后，他或许会短暂地休息一下，欣赏自己的艰苦劳动所获得的成果。他相信这一证明值得奉献给他所崇拜的神灵，因此把这个定理刻在木板上，悬挂在当地的寺庙中，然后开始考虑下一个挑战。前来参拜寺庙的人将会注意到这个色彩鲜艳的算匾，并对它的精美赞叹不已。许多人在离去时可能会想，不知算匾的作者是怎样找到这样奇妙的答案的。有些人可能决定尝试一下解这个问题，或者是决定要钻研几何学以便能进行这种尝试。还有少数人在离去时可能会这样问，“如果这个问题改成这样又如何呢⋯⋯

这是一个值得我们所有人考虑的问题。