互动科普

空间的形状

一位俄罗斯数学家证明了百年以来悬而未决的庞加莱猜想，并完成了三维空间的分类。他可能因此而获得百万美元的奖金。

设想你站起来环顾四周，然后绕圈子走，向上跳起，挥动手臂。无论做些什么，你都不过是在流形(三维空间)很小的一个区域内动来动去的粒子集合，流形在数十亿年中不停地朝四面八方膨胀。

流形是数学上的结构。自伽利略和开普勒时代以来，物理学的最大成就，就是通过诸如流形数学之类的各种数学工具成功描述了现实世界。按照物理学观点，任何事情都发生于三维空间的背景内(暂且把弦论专家们关于在可见三维空间之外还存在若干微小维度的猜想撇开不论)[参看“曾名‘弦’的理论”，Michael J·Duff《科学》，1998年第5期]。三维意味着确定一个粒子的位置需要三个数。例如，在地球附近，这三个数可以是经度、纬度和高度。

牛顿物理学和传统的量子力学认为，万事万物所存在的三维空间是固定不变的。但在爱因斯坦的广义相对论中，空间担当了积极的角色：从一点到另一点的距离既物质喷多少、能量大小的影响，也受可能穿越过的引力波影响[参看“有插座就能上网”，W·Wayt Gibbs，《科学》，2002年第6期]。但无论我们面对的是牛顿物理学还是爱因斯坦物理学，也无论空间是有限的还是无限的，空间都是用三维流形表示的。因此，了解三维流形的特性，对充分认识几乎整个物理学以及其他所有各种科学发展的根基是必不可少的。(四维流形也很重要：空间和时间合起来就构成了一种四维流形。)

数学家们对三维流形已经了解很多，但有几个最基本的问题却被证实是最难的。研究流形的数学分支叫拓扑学。拓扑学家对三维流形提出的最基本问题包括：三维流形中最简单的，也就是结构复杂程度最低的一种是什么？这类流形是独一无二的，还是有多个同样简单的近亲？三维流形有哪些种类？

上述第一个问题的答案早已为人所知：名为三维球面的空间是最简单的紧致三维流形。(可以把非紧致流形想象成无限的或有边缘的流形，以下我只考虑紧致流形。)另外两个问题从提出至今已有一个世纪了，不过也许在2002年已由俄罗斯数学家Grigori Perelman回答了，他最可能证明了名为“庞加莱猜想”的定理。

就在一百年前，法国数学家亨利·庞加莱最先提出了这一猜想，认为三维球面在三维流形中是独一无二的，其他任何三维流形都没有如此简单的特性。比三维球面复杂的三维流形，要么具有围墙般的边界，要么各个区域彼此间是多连通的，就像穿过树林的一条小路先分又然后又会合一样。庞加莱猜想认为三维球面是唯一不具备所有这些复杂因素的三维流形。因而任何与三维球面性质相同的三维物体，最终都可以变成三维球面的形状；在拓扑学家看来，这样的物体纯粹就是三维球面的翻版。Perelman的证明也解决了我们的第三个问题，也就是完成了所有存在的三维流形的分类工作。

三维球面并不是我们日常意义上所说的那种球面，想象一下三维球面是什么样子，很要好好动动脑筋[见64~65页]。不过三维球面在许多方面与我们都熟悉的二维球面有异曲同工之妙：如果你找个圆气球来，它的橡皮就构成了二维球面。之所以是二维，因为只需要经度和纬度两个坐标，就可以确定球面上一点的位置。此外，如果你在气球上划出很小一片地方，用放大镜仔细观察，它看起来就像从一块从二维橡皮平面上切下的一片，只是稍微有点弯曲而已。一只在祈求上爬的小虫会以为气球是个平面，但如果这只小虫顺着它以为是直线的方向一直爬下去，最终将回到出发点。

同理，三维球面上的一只小虫，或者站在宇宙那么大的三维球面上的某个人，会觉得自己是在“通常”的三维空间中。但如果这只小虫朝任意方向沿着一条直线飞下去，最终它将环绕三维球面旅行一周，回到出发地，恰如在气球上的小虫或者环球旅行的人一样。

除了三维球面以外，还存在其他维数的球。一维球面也是人人都熟悉的：就是个圆周(圆面的边缘，不是圆面本身)。n个维度的球面称为n维球面。

证明猜想

自从庞加莱提出三维球面的猜想之后，在足足半个世纪里证明这个猜想的工作都没有取得什么真正的进展。直到1960年代，数学家们才对于五维及五维以上的球面证明了庞加莱猜想。无论维数多大，n维球面都是这个维度独一无二、最简单的流形。奇怪的是，维数大干三维和四维的庞加莱猜想反倒越容易证明。特别难啃的四维球面庞加莱猜想直到1982年才获得证明。这样就只剩下了庞加莱当初提出的那个三维球面猜想依然悬而未决。

2002年11月，俄罗斯圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的数学家Perelman在www.arxiv.org网络服务器上公布了一篇论文，标志着解决三维庞加莱猜想的努力取得了一项重大进展。这个网站是物理学家和数学家们广泛利用的一个新研究成果交流中心。这篇论文没有直接提到庞加莱猜想的大名，但是拓扑学家读了论文后立刻意识到它同这个定理有关。Perelman紧接着又在2003年3月发表了一篇后续论文，并在当年4月到5月赴美国讲学，在麻省理工学院和斯托尼布鲁克纽约州立大学举办的系列讲座上详细介绍了他的成果。十余所顶级研究机构的众多数学家们开始仔细审查Perelman的论文，对论文中的每一项细节进行验证，看看有无错误。

Perelman在斯托尼布鲁克大学进行了两周正式与非正式讲学，每天要讲3到6个小时。该校的数学家Michael Anderson说：“他回答了听众提出的每一个问题，讲得非常清楚。至今还没有人提出有分量的质疑。”Anderson又说，为了获得完整的结果，尚须证明一个相对而言次要的步骤，“但是没有人真的怀疑这一最终结果的可靠性。”Perelman的第一篇论文涉及到基本概念，此论文颇得好评，已获得了学术界的认可。第二篇论文则包含了应用问题和更多理论论证，所接受的验证尚未使它达到第一篇论文获得的那种可信度。

2000年，美国马萨诸塞州坎布里奇的克雷数学研究所选了七个所谓“千年问题”来悬赏征求解答，庞加莱猜想便是这七大问题之一，证明这一猜想的人可望获得一百万美元的奖金。Perelman的论文必须公开发表，并接受两年的审查；如果无懈可击，他将有资格获得这笔奖金。(该研究所可能会认定在网络服务器上公布此论文，也可算是“公开发表”，因为这个结果目前正在接受同行评议，其严格程度不亚于其他任何论文所经受的审查。)

Perelman的研究成果完成并延伸了哥伦比亚大学的Richard S·Hamilton在1990年代曾探索过的一项研究项目。克雷研究所在2003年后期曾授予Hamilton一项研究奖，以表彰他的工作。Perelman的计算和分析扫清了Hamilton曾经遇到的一些无法逾越的障碍。

如果Perelman的证明不出众人所料是正确的，那它实际上将完成一项比庞加莱猜想庞大得多的工作。现在在康奈尔大学的William P·Thurston所提出的“Thurston几何表示猜想”对所有可能的三维流形进行了完整的分类。而三维球面那种独一无二的简单性则构成了这个宏大分类系统的基础。如果庞加莱猜想被推翻，也就是说如果存在着许多与三维球面一样“简单”的空间，那么三维流形的分类将一下子膨胀到比Thurston提出的方案不知道要复杂多少倍。幸而依靠Perelman和Thurston的研究成果，我们现在已经掌握了三维空间可以呈现的所有各种可能形状的完整分类，即宇宙(只考虑空间，未考虑时间)可能具有的数学特性所允许的全部形状。

要想更深入地了解庞加莱猜想和Perelman的证明，需要有一些拓扑学知识。在这个数学分支中，物体的确切形状是无关紧要的。你可以把它们想象成能够随意拉长、压扁和弯曲的陶土玩意。不过我们为何要操心假想的陶土捏成的物体或空间呢?原因在于物体的确切形状，即其上一点到另一点的距离是物体结构的一个层次，称为物体的几何性质。拓扑学家们通过研究陶土做成的物体，发现物体的哪些性质是同其几何结构无关的根本特性。研究物体的拓扑性质就好像是做一个可以随心所欲变成任意某个人的“陶人”，通过研究它来发现所有的人具有哪些共同特性。

如果你已经读过关于拓扑学的通俗介绍，那么想必遇到过一种老掉牙的说法：杯子和炸面包圈在拓扑学家眼里是没有区别的。（这里说的是空心炸面包圈，不是实心果酱馅炸面包圈。）关键在于，你只要把陶土做的杯子捏来捏去，便可以使它变成炸面包圈的形状，不用在陶土上戳洞，或者把不同部分粘合在一起[见66页]。另一方面，如果你想把一个陶土做的球变成炸面包圈的形状，要么必须在它中间戳个洞，要么就将它拉成长条，把两端粘起来。由于必须戳洞或粘合，因此在拓扑学家看来球和炸面包圈是不等价的。

拓扑学家最感兴趣的是球和炸面包圈的表面，因此我们应该想象一下球型气球和炸面包圈型气球，以代替实心球和炸面包圈。此时它们的拓扑性质依然不同：球型气球不能变形成炸面包圈型即环形气球（称为环面）。因而，从拓扑学的角度来说，球面和环面是截然不同的实体。早期拓扑学家曾致力于确定还有多少拓扑相异的实体并试图表述它们的特征。对于二维实体（亦称为表面），这个问题的答案非常简单明了：它完全取决于一个表面有多少“柄”。

到l9世纪末，数学家们已经掌握了如何对表面进行分类。他们知道，在所有表面中，球面具有独一无二的简单性。接下来数学家们顺理成章地开始考察三维流形的问题。首先，三维球面是否同二维球面一样，是唯一一种最简单的三维流形？由这个基本问题引出来的长达一个世纪的研究史上，错误的推导和错误的证明层出不穷。

亨利·庞加莱直截了当地来对付这个问题。他是活跃在20世纪初期的两位数学巨匠之一（另一位是大卫·希尔伯特）。庞加莱被称为最后的一位数学全才，他在所有的数学分支中都如鱼得水，无论是纯数学还是应用数学。除了推进众多数学领域的发展以外，庞加莱也对天体力学和电磁论乃至科学哲学等作出了很大贡献（关于科学哲学他曾写过一些广受欢迎的普及读物）。

庞加莱是袋鼠拓扑学这门数学分支的主要开创者。在1900年左右，他利用代数拓扑学方法构想出衡量物体拓扑性质的方法，称为同伦。为了确定某一流形的同伦，想象你把一个闭合环圈嵌在该流形上[见66页]，环圈可以以任意方式绕在该流形上。然后我们想知道，只是旋转，而不能有任何一部分跑到流形之外，环圈是否总能收缩成一个点。在环面上，回答是不行。如果环圈绕着环面的圆周分步，它就不可能收缩成一个点，最终它将炸面包圈的内环挡住。同伦就是描述环圈被挡住的所有不同方式的测度。

在n维球面上，无论环圈盘绕的路径多复杂，最终它总是能够解开，收缩成一个点。（在这些变形过程中环圈可以穿过自身。）庞加莱推测在它上面的任何一个环圈都能收缩成一点的唯一三维流形就是三维球面本身，但他无法证明这一点。这个推测后来就被称为庞加莱猜想。数十年来有许多人声称他们证明了庞加莱猜想，结果却证明他们全错了。（为清楚起见，本文从头至尾忽略了两种较复杂的情形，即所谓无方向流形以及有边缘流形。例如，莫比乌斯带（把一根带子扭转后接成一个环）就是无方向流形。一个球面被切掉一小片之后，就成了有边缘的流形。莫比乌斯带也有边缘。）

几何化

Perelman的证明是第一个经得起严密审查的证明。他分析三维流形的方法与称为几何化的技巧有关。几何学涉及物体或流形的真实形状：在几何学中，物体不是陶土做的，而是陶瓷做的。例如，杯子的几何形状就不同于炸面包圈，它的表面弯曲方式不同。我们说杯子（假定杯子有一个柄）和炸面包圈是同一个拓扑环面被赋予不同几何形状后所得的两个例子。

为了体会几何化对Perelman有些什么帮助，考虑我们可以如何运用几何学来对二维流形，即表面进行分类。我们给每个拓扑表面赋予一种特殊、唯一的几何形状，也就是使表面的曲率在整个流形上完全均匀分布的那种几何形状。对于拓扑球来说，这种唯一的几何形状就是彻头彻尾的球面。蛋壳形是拓扑球另外一种可取的几何形状，但它的曲率不是完全均匀分布的：蛋壳小端的曲率大于大端。

二维流形可以构三种几何形式[见67页]。球具有所谓正曲率，山顶的形状。几何化的环面是平的，它与平面相仿，曲率为零。至于其他所有流形（即有两个或两个以上柄的流形），曲率为负值。负曲率对应于山口或马鞍的形状：从前到后，向上弯曲，而从左到右，向下弯曲。庞加莱（还有谁？）以及Paul Koebe和Felix Klein（克莱因瓶即因他而得名）对二维流形的这一几何分类法（即几何化）作出了贡献。

很自然，人们会尝试把类似的方法应用于三维流形。对于每一种拓扑三维流形，是否有可能找到其曲率在整个流形中均匀分布的唯一几何形状呢？

结果人们发现三维流形的情况要比二维流形复杂得多。绝大多数三维流形都不可能被赋予均匀的几何形状。我们必须把这些三维流形分成若干部分，每一部分具有一种不同的典型形状。不同于二维流形的3种基本几何形状，三维流形可以取8种典型形状。分割一个三维流形，有点类似于把一个数分解为唯一的素数因子之积。

这一分类方案最初是Thurston在1970年代后期推测出的。Thurston和同事证明了这个猜想的大部分内容，但却一直未能证明整个分类系统赖以成立的若干关键点，包括涉及到庞加莱猜想的那一部分三维球面是唯一的吗？只有在Perelman的论文发表之后，这个问题才得到解决，而Thurston的三维流形分类方案也才得以大功告成。

我们该如何实现三维流形的几何化呢？也就是说，如何使它具有四处都均匀的曲率呢？一条途径是从一些任意几何形状入手，比如分布着形形色色隆起和凹陷类似蛋壳的形状，然后使所有不平坦的地方变平滑。l990年代初，Hamilton利用所谓Ricci流方程（以数学家Gregorio Ricci—Curbastro的名字命名，与支配热流的方程有些相似），开始对三维流形进行这样的分析：在一个部分冷部分热的物体中，热量当然是从温度较高的区域流向温度较低的区域，直到各处的温度变均匀为止。Ricci流方程对曲率有类似的作用，它使一个流形变形，抹平所有的隆起和凹陷。比如说开始时是鸡蛋，它将逐步变成完美的球形。

Hamilton的分析遇到了拦路虎：在某些情况下Ricci流将使流形收缩成一个点（这就是Ricci流有别于热流的地方之一。发生收缩的那些地方相当于热流场中温度趋于无穷大的点。）哑铃状（两个球通过一条细颈连接起来）流形便是一例，Ricci流的作用将使两个球增大，实际上就是把物质从颈部抽取出去，从而使颈部中央逐渐收缩成一个点[见上图]。另一个例子则是有一根细棒从流形中伸出的情形。此时Ricci流可能产生名为“雪茄奇点”的棘手问题。当一个流形以这种方式收缩时，它就不是真正的三维流形，而是所谓的奇异流形。在真正的三维流形中，任何一点周围的小区域看起来就像是通常三维空间的小区域，但这一性质在收缩点处不复存在。这块绊脚石一直等到Perelman出现才被搬开。1992年Perelman以博士后的身份来到美国，在纽约大学和斯托尼布鲁克大学度过了几学期，然后又在加州大学伯克利分校呆了两年。他很快就获得了神童的名声，证明了几何学一个分支中许多重要而深刻的结果。他谢绝了欧洲数学学会颁发的奖项，而接受了颇有声望的国际数学家大会的演讲邀请。l995年春，众多一流的大学数学系聘请他加盟，他都拒绝了，返回圣被得堡的家中。一位美国同事这样评价他，“Perelman是受俄罗斯文化传统熏陶极深的人。他非常淡泊名利。”

回到圣彼得堡后，Perelman彻底从数学家的视野中消失了。他仅有的活动迹象是几年后，他偶尔给以前的同事发发电邮，指出他们在网上公布的论文的错误。询问他在搞些什么研究的邮件，一律没有答复。

最终，到2002年后期，有几个人收到了Perelman发来的电子邮件，请他们注意他在数学服务器上公布的论文。邮件只说他们或许会觉得这论文有点意思，寥寥数字完全体现了Perelman所特有的简短风格。这份低调的声明实际上宣告了Perelman同庞加莱猜想进行较量的第一回合。在预印本中，Perelman除了提到他所在的斯捷克洛夫数学研究所，还特地注明他的研究是靠在美国搞博士后省下的钱完成的。

Perelman在论文中给Ricci流方程增添了新的一项。修改后的方程并未消除奇点带来的麻烦，但它使Perelman得以把分析向前推进了一大步。对于哑铃奇点，Perelman证明了可以动一下“手术”：把刚出现的收缩点每一侧上的细管剪断，然后用球形帽把每个哑铃球的细管开口封住。这样Ricci流又可以在手术改造后的流形上继续进行下去了。到下一个收缩点出现时，我们又可以如法炮制，对它进行同样的改造。Perelman还证明了雪茄奇点不可能出现。通过这种方法，任何三维流形都可以简化成由若干部分组成的集合，每一部分都具有一种均匀的几何形状。

把Ricci流和手术运用于所有可能的三维流形上时，任何同三维球面一样“简单”的流形（用专业术语说就是与三维球面同伦的流形）最终必定变成与三维球面一样均匀的几何形状。这一结果意味着从拓扑角度看，该流形就是三维球面。换言之，三维球面是唯一的。

除了证明庞加莱猜想以外，Perelman的研究之所以重要还在于它开创了新颖的分析手段。数学家们发表论文中已经有以Perelman的成果为基础，也有用他的方法来解决其他问题。此外，数学同物理有着奇妙的联系。Hamilton和Perelman运用的Ricci流与所谓重整群有关(重整群确定相互作用的强度如何随碰撞能量而改变)。例如，在低能下，电磁相互作用的强度可以用0.0073(1/137)这个数字来表征；而当两个电子以接近光速迎头对撞时，相互作用的强度就接近0.0078。

增加碰撞能量等价于在更短的距离尺度上考察力。因而重整群就起到了显微镜的作用；通过把它的放大倍数调高或调低，我们就可以更详尽或更粗略地考察某个过程。类似地，Ricci流也像一台显微镜，通过它我们可以在选定的放大倍数下观看流形。在某一放大倍数下可见的隆起和凹陷，调到另一放大倍数时或许就消失不了。物理学家们预计，在10~35米左右的尺度上（普朗克长度），我们所在的空间看起来将完全变了样，它将呈现为“泡沫”状，上面有众多环圈、柄以及其他种种拓扑结构[参见“量子化时空”，Lee Smolin，《科学》，2004年第3期]。描述物理力如何变化的数学与描述流形的几何表示的数学几乎可谓不谋 而合。

数学同物理学的另一个联系是描述引力和宇宙大尺度结构的广义相对论方程与Ricci流方程密切相关。此外，Perelman向Hamilton使用的基本流中新加 入的那一项也出现在弦理论中（弦论是一种量子引力理论）。Perelman的方程是否会揭示有关广义相对论或弦论的某些引人入胜的新玄机，尚须拭目以待。如果情况真是如此的话，那么Perelman给我们的启示，就不仅仅涉及抽象的三维空间的形状，而且还涉及我们居住的这片具体的空间形状了。

郭凯声/译

杨光/校