互动科普

    许多科学领域中目前所使用的数学模型可能根本不能解决现实世界的某些问题。但是却可能存在着一些解决这类问题的方法。

    对于任何一位受到人类思想具有解决问题的无限能力这种观点影响的人来说，考察20世纪数学必然是相当令人不安的。1931年库尔特哥德尔提出他的不完全定理，该定理表明没有一个演绎推理系统能够解决所有有关数的问题。几年之后，艾伦.M,图灵便证明了一个关于计算机程序的等价断定，该断定指出不存在确定某一给定程序在处理一组数据时是否有时将会停止的系统方法。最近IBM公司的Gregory J, Chaitin已发现一些算术命题，这些命题的原理决不可能采用任何演绎法则加以确立。

    这些发现与我们在数学和逻辑世界中的认知能力相抵触。是否存在着一些对我们解决自然和人类事的能力的类似限制呢?正视这一问题中的第一个和或许最麻烦的任务在于确定所谓的“科学知识”的含意。为了大刀阔斧地解决这个哲学上的复杂问题，让我采取一种或许在一定程度上引起争议的见解，即解答某一个问题的科学途径采取一组规则或程序的形式：我们将该问题作为输入直接输送到这些规则中，转动逻辑演绎的把手并等待答案出现。

    把科学知识看成为通过将其等同于一种计算机程序而生成的便产生出计算难处理性问题，解决有名的“推销员”问题的困难(涉及到寻找将许多城市连接起来的最短路线)被广泛认为随着目的地数目的增加而呈指数上升。例如，正确确定出推销员访问100个城市的最佳行程可能需要检查100 x 99 x 98 x 97 x ... x 1种可能性——这可能会让速度最快的计算机花上数十亿年才能完成。

    但是这样一种计算是可能的——至少原则上说是可能的，我们将注意力集中于一些几乎不存在能够产生答案的程序的问题上。对于物理现象世界来说，要显示这类数学中的逻辑上无法解答性需要些什么呢，我坚决主张按下述意义来说，自然界可能必须或者是不一致的，或者是不完全的。一致性意味着在自然界不存在真正的悖论。通常，当我们遇到可能被认为是这类悖论的问题(例一如似乎从类星体喷射出中一些气体喷流比光速更快)时，后来的调查研究已提供了一种解答。(这种“超光速”喷流证明是一种由相对论效应产生的错觉。)

    自然界的完备性意味着一种物理状态在没有任何原因的情况下是不能产生的。简言之，对于每一种效应都存在一个原因。一些分析人员才能不赞成量子论与自然界是一致的和完备的这一断言相抵触。实际上，支配着量子现象波函数的方程为每一种观察都提供一个因果性解释(完备性)并且在时间上的每一瞬间都得到完美的确定(一致性)。由于我们坚持将量子客体视为一种经典物体，所以量子力学的声名狼藉的“悖论”便产生了。

三个猜不透的谜

    自然界既是一致的又是完备的，这正是我的看法。另一方面，科学对数学和演绎法的依赖却妨碍了我们解答与自然界有关的某些问题的能力。为了进一步突出这个问题，让我们考察三个来自物理学、生物学和经济学领域的著名问题。

太阳系的稳定性，最著名的经典力学问题是N体问题。一般说来，这个问题着眼于N个按照牛顿万有引万定律运动的点状天体的行为。这个问题的一种表达方式为，两个或两个以上的这种天体是否将会碰撞，或者一个天体是否将在有限的时间内获得一种任意高的速度。在西北大学Zhihong(Jeff) Xia的1988年博士论文中，他证明在两个双重星系之间来回运动的一个单一天体(总数为5个天体)可能会接近一种任意高的速度并从该系统发射出去。这一结果建立在天体的一种特殊几何构形的基础上，并不能说明我们太阳系的特殊情况。但是它却指出或许太阳可能并非稳定。更重要的是，这一个发现为研究这一问题提供了一些新的工具。

    蛋白质折叠。构成每一种生物体的蛋白质全都由大量氨基酸组成的序列而形成，就象项链上串起的珠子。一旦这些氨基酸串珠被接入正确序列，则蛋白质便立即迅速折叠成一种极其特殊的三维结构，这种结构确定蛋白质在生物体中的功能。据估计，一名将似真规则用于蛋白质折叠的超级计算机甚至为一个仅由100个氮基酸组成的极短序列寻找其最终折叠形式，可能也需要花上10127年的时间。事实上，宾夕法尼亚大学的Aviezri X. Fraenkel在1993年就曾证明，蛋白质折叠问题的数学公式化在计算上与推销员问题一样“困难”。自然界是如何解决的呢?

    市场效率。经典金融学术理论所依赖的支柱之一是金融市场是“有效的”这一设想。也就是说，市场立即处理影响某一股票或商品价格的所有信息并将其结合到该证券的价格中。因而价格将按照一种无法预测的，基本上随机的方式变化，以减低通货膨胀的影响。反过来，这种情况便意味着建立在任何公开可用信息(例如价格历史数据)基础上的交易方案都将是无用的。总而言之，在一个有效的时间范围内不可能存在一个比市场进行得更好的方案。但是，实际市场似乎并未对学术理论给予更多的关注。财务文献资料中充满着诸如低的市价—盈利比率效应之类的市场“异常现象”，这种情况指的是一些公司的股票价格相对于其盈利属于偏低，这些股票总的说来始终优于市场。

数学的不真实性

我们对上面所提出的三个问题的考察已经得到似乎是三个答案：太阳系可能并不稳定，蛋白质折叠计算起来十分困难，而金融市场也许不是完全有效。但是这些被认为的“答案”中的每一个所具有的共同之处在于它涉及一种真实世界问题的数学表示，而非问题本身。例如，N体问题的Xia解并未解释真实的行星星体是如何按照真实世界万有引力进行运动的。同样，蛋白质折叠计算困难的Fraenkel结论也没有说明真实蛋白质是如何设法在几秒钟而非几个世纪内完成它们的折叠的。当然，精明的华尔街商人数十年来对有效市场假设嗤之以鼻。因而为了得出科学上不能解决上述问题结论，我们必须证明数学模型确实是这种物理状态的正确表达或者完全抛弃掉数学方法，我们在下面考察了这两种可能性。   

上述例子表明，如果我们想要在真实世界中寻找一些科学上无法解答的问题，我们必须仔细地将自然界和人类现象与那些世界的数学和计算模型区别开。真实世界的客体由可直接观察到的量〔例如时间和位置〕，或由可观测到的量推导出来的量(例如能量)构成的。因而，我们对一些参数加以考察。例如行星的测得位置或蛋白质的实际观测构形。这样一些可观察到的事物通常组成了一个在某些有限数集中取值的测量结果的离散集。此外，这类测量结果通常并不精确。

    另一方面，在数学世界中，我们具有对这类真实世界可观察的事物的符号表达，其中这些符号常常被假定为属于空间和时间中的一种连续集。这些表示诸如位置和速度之类属性的数学符号通常具有一些整数、实数或复数的数值，所有这些数系含有无限数量元素。在数学中，表征不确定性选择的概念就是随机性。

    最后，还存在着一个计算世界，该世界处于一种奇妙的状态。它的一只脚在物理仪器的真实世界中，而一只脚则站在抽象的数学对象的世界中，如果我们把计算看作为对一组规则或算法〔规则系统〕的执行，那么这一过程则是一种属于符号对象世界的纯粹数学过程。但是如果我们将计算看成为一台实际计算机存储器的接通或关闭的过程，那么它便是一种牢牢扎根于可观察事物的物理世界中的过程。

    证实某一特定问题是否在逻辑上不可能通过科学方法加以解答的一种途径，是将所有的讨论和论证完全限制在自然观察世界之中，如果我们遵循这一条路径，那么我们便不得将一个诸如“太阳系是否稳定?”之类的问题转换为一种数学陈述，并借此用数学的逻辑证明机制来产生答案。其后我们便面临着为数学证明的概念在物理世界中寻找一个替代物的问题。

一个较好的候选者是因果律观点。基本上说，如果有可能产生出其最终环节为问题的答案的一条因果论(证)链。那么该问题可被认为在科学上是可以解答的。一个因果论(证)不必用数学术语加以表达。例如，标准演绎论证“所有的人都会死去，苏格拉底是人；因此，苏格拉底会死去——便是一个因果链。这里并不涉及数学，仅仅是清楚明白的英语。

另一方面，不依靠数学而构造一个有说眼力的因果论证可能是一项令人胆怯的任务，例如，在太阳系稳定性的问题中人们必须寻找这些行星和引力的有力的令人信服的非数学定义。

    由于上述困难看起来考虑一些将自然世界和数学世界混合起来的方法较为明智。如果我们想要引用数学证明工具来解决一个特殊的真实世界问题，那么首先必须将该问题作为某种数学形式体系的一种陈述(例如一个微分方程一个图形或一个N人对策)加以“编码”。我们使用数学世界这一特殊领域的工具和技术对该问题的数学变型求解，最终将答案(如果有的话)“译码”复原为真实世界术语。此处有一个复杂的问题是要确认，该问题产生于真实世界因而该问题的数学变型是这个问题的一种正确表达。我们如何知道一个自然的数学模型和该系统本身相互之间有关呢?这是一个古老的哲学难题，为了解决它必须建立五种模型理论。此外，数学论证可能还服从由哥德尔、图灵叔Chaitin所揭示的约束条件；我们尚不知道真实世界是否也同样受到约束。

非计算思想

    可能存在着一些回避上述问题的方法。由哥德尔和其他人所发现的一些问题适用于具有无限元的数系，例如所有整数组成的集。但是许多真实世界问题(例如推销员问题)涉及到有限个变量，其中每一个变量都只能取有限个可能的数值。

    同样，推理的非演绎方式——例如归纳法，在归纳法中我们根据有限个特殊观测结果立刻得出一个一般性结论——能使我们超越逻辑不可判定性的范围。因而，如果我们将我们的数学形式体系限制于一些使用有限个数集或非演绎逻辑，或同时使用两者的系统，那么每一个数学问题都应该是可以解答的。因此我们能移预测到这类问题的译码真实世界对应部分也是可以解答的。

    人类思想的研究工作可揭示出另一些越过逻辑界限的途径。一些人工智能的支持者已经指出，我们目的大脑便是计算机，虽然极其复杂，它们仍以同常规计算机(乃至并行处理机和神经网络)一样的逻辑，步进方式进行计算。但是各种各样的理论家，特别是牛津大学的数学物理学家Roger Penrose，已经指出人类认知活动不是建立在任何已知的演绎规则上，因而并不受哥德尔限制的支配。

      目前，这种观点已得到在斯德哥尔摩未来研究所支持下由我、苏塞克斯大学心理学家Margaret A Boden、西北大学数学家Donald G,  Saari经济学家Ake E,Andersson(未来研究所所长)和其他人所进行的研究工作的支持。我们的研究工作有力地表明，在艺术以及自然科学和数学方面，人类的创造能力并不受计算机运算的严格约束条件的支配。Penrose和其他理论家推测，人类创造能力起源于一些仍然未知的机理或规则，或许与量子力学有关。通过揭示这些机理和将它们运用到科学方法之中，科学家们就能够解决一些看上去难以解决的问题。

当然，科学对自然奥秘的揭示能力受到许多实际条件的限制，例如测量误差、计算长度、物质和经济资源、政治意向和文化价值。但是上述条件没有哪一个与我们解答关于自然界的某一问题是否存在一种逻辑障碍有关。我的观点是并不存在逻辑障碍。因而，对20世纪的数学作一次巡视终究不必如此令人不安。

〔陈宏鉴 译 王世德 校〕