互动科普

如果我们熟悉的3维空间变成2维，其间的引力会是什么样？问题的答案常人难以想象，但出人意料的是，正是它为物理学家提供了寻找大统一理论的方向。

撰文 史蒂文·卡里普（Steven Carlip） 翻译 庞玮

时至今日，上述统一进程中仍然缺失一环，即引力和量子力学的融合。作为爱因斯坦的引力理论，广义相对论描述了宇宙的创生、行星的轨道和苹果的掉落。另一方面，量子力学关注的则是原子和分子、电子和夸克、亚原子层次的基本力，以及更多此类微小的事物。但是，在黑洞这类引力和量子效应都很强的天体之中，两者即便跻身一处，它们也表现得格格不入。物理学家一直尝试将二者整合成一个量子引力理论，但曾经的希望最终都成死灰，努力的结果要么毫无意义，要么无疾而终。尽管历经80寒暑，以及包括十多位诺贝尔奖得主在内的几代物理学家的前仆后继，量子引力理论仍如镜花水月。

面对难以解答的难题，物理学家通常的反应都是，“考虑一个更为简单的情况”。正是通过研究从复杂的现实世界中抽离出来的一个个简单模型，物理学才不断取得进步的。研究者已经考虑了很多有关量子引力的简单模型，比如在引力很弱，或黑洞这类特殊情况下的模型。最特别的一个模型可能是，完全忽略空间的一个维度，设想在一个2维宇宙中引力会如何变化（从技术上说，物理学家考虑的情况是“2+1维”，即2维的空间，外加上时间）。说不定这个简化宇宙中的引力规则，也同样适用于我们的3维宇宙，那就真是在大统一的严冬里雪中送炭了。

简化维度这个想法可不是空穴来风。埃德温·阿伯特（Edwin Abbott）在1884年出版的小说《扁平王国：多维罗曼史》（Flatland: A Romance of Many Dimensions）中，就演绎了一位“方块先生”的奇妙旅程。他是一个2维世界里的居民，这个世界由三角形、方块和其他几何形状组成。阿伯特的本意，是借小说来讽刺维多利亚时期的社会风气，例如扁平王国里有严格的等级制度，女性处在社会最底层，上流社会则由一群圆形教士把持等。但此书却引发了人们对不同维度几何的强烈兴趣，直到今天仍为数学家和物理学家津津乐道。很多在高维空间中绞尽脑汁的研究者都从扁平王国起步，先设想我们的3维世界在方先生眼中会是何等模样。扁平王国同样还启发了那些研究石墨烯（graphene）之类材料的物理学家，因为这些材料的性质的确就类似一个2维空间（请参见《环球科学》2008年5月《延续摩尔定律的新材料》一文）。

对扁平王国中引力的研究，首次出现在上世纪60年代，结果让人失望：扁平王国是无引力的世界，准确地说，是2维世界没有足够的空间让引力进行传递。但到了20世纪80年代，这个问题又绝处逢生，因为研究人员认识到，引力能在平面世界中以出人意料的方式运作，即使两个物体之间并无服从牛顿平方反比率的吸引作用，引力仍可以塑造空间的整体形状，乃至产生黑洞。时至今日，平面世界的引力已经成为物理学家横向思维的座上宾，让他们得以对一些存疑想法进行严格的数学检验，例如全息原理（holographic principle）以及有关“时间从无时间世界中涌现”的推测。

时间管理

每当物理学家要将一个力量子化，他们都先从相应的经典理论出发，以此作为量子化的基础。对于引力来说，这个经典理论就是广义相对论，但问题也就出在广义相对论身上，它涉及一个由10个方程组成的复杂体系，每个方程都包含上千项，一般情况下我们甚至没法解出这个方程组，要将之量子化更是一个无望的工程。不过这还只是表面上的困难，量子引力之所以难以捉摸还有更深层的原因。

根据广义相对论，我们称之为“引力”的东西，实际上是空间和时间的一种展示。地球围绕太阳运转，并非有什么力在推拽它，而是地球在被太阳质量弯曲的时空中，沿着最短的可能路径运动的结果。因此，统一量子力学和引力就意味着要将空间和时间结构本身量子化。

这听上去可能不值得大惊小怪，但着实困难重重。量子力学的基石之一，是所谓的“海森堡不确定性原理”（Heisenberg uncertainty principle，旧译“海森堡测不准原理”），即物理量本质上都是模糊的，在所有可能取值上随机涨落（fluctuate），直到被观测，或者经历一个等价于观测的过程，它才获得一个确定结果。如此一来，在量子引力中，空间和时间本身就会不断涨落，从而动摇所有物理现象赖以发生的基础。没有一个固定的时空作为背景，我们就不知道该如何描述位置、速度等所有基本物理概念。简单点说，就是我们搞不清楚什么样的时空叫量子时空。

这些通往量子时空概念的难关，有好几种表现方式。其中之一就是人尽皆知的“时间难题”（problem of time）。时间是我们观察实在的基础，几乎所有物理理论本质上都是对宇宙某些组成如何随时间变化的描述。因此物理学家应该最了解什么是“时间”，不过让人汗颜的是，其实他们并不清楚。

在牛顿眼中，时间是绝对的，超越自然，统摄万物但万物不能增减之。常见的量子力学形式接受了这种绝对时间观念。与之相对，相对论将时间拉下神坛，相互运动的不同观测者，对时间的流逝速度有不同看法，甚至对两个事件是否同时发生，也无法取得一致。在引力场中，时钟以及其他所有随时间变化的事物，都会运转得更慢。在相对论中，时间不再是一个外部参数，而是宇宙构成的主动参与者。这样一来，没有独立宇宙之外的理想时钟存在，也就不能借之来决定变化的步调，时间的流逝必须从宇宙的内部结构中自动生成（请参见《环球科学》2010年7月《时间是幻觉？》一文）。但具体如何生成？这还不得而知，甚至要找到这个问题的头绪，都不是易事一桩。

“时间难题”还有一个名声稍逊的同伴，名为“可观测量问题”（problem of observables）。物理学是一门实验科学，也就是说任何物理理论必须包含对可观测量的具体预测，同时这些预测又必须是可以检验的。在普通物理学中，这些量总是被赋予一些具体的位置，比如“这里”的电场强度，或者“那里”发现电子的概率等。我们用坐标x、y、z来对“这里”、“那里”进行标记，理论则会对可观测量随着这些坐标如何变化给出预测。

不过，在爱因斯坦的相对论中，空间坐标只是一个随意的、人为的标记，宇宙本身不会迁就你制定的这些标记。而如果无法客观地确定时空中的一个点，你也就没法说明这点上会发生什么。美国犹他州立大学的查尔斯·托雷（Charles Torre）认为，一个量子引力理论不会有纯粹的定域观测量，或者说观测量的取值不仅仅依赖于时空中的某个点，还会受到其他点的影响。这样一个非定域的理论，如何用来描述我们眼中似乎是定域（起码考虑引力时是如此）的世界，这将是量子引力追寻者肩上的另一个重担。

还有第三个难题，就是宇宙形成问题。它究竟是从虚无中创生的，还是从某个母宇宙分离出来的？或是经历其他完全不同的方式出现的？这里的每种可能性，都给量子引力理论设置了一些障碍。一个与此相关的问题，已经成为科幻小说作家笔下的永恒主题，那就是虫洞（wormhole），一个连接空间甚至时间中不同位置的捷径。物理学家确实严肃地考察过这个想法，在过去20年间，约有1 000篇有关虫洞的论文发表，不过虫洞这类结构是否存在至今仍笼罩在迷雾之中。

最后一些问题围绕的是科学中最为神秘的怪兽：黑洞（blackhole）。黑洞是一扇我们窥探空间和时间结构终极本质的最佳窗口，在上世纪70年代，霍金（Stephen Hawking）就表示，黑洞会像炽热的煤炭一样发光，按照黑体辐射谱（blackbody spectrum）向外辐射能量。在所有其他物理学体系中，温度都是底层微观组分运动的反映，我们说屋里很温暖，其实是指房间里空气分子正以较高能量在不断运动。对于黑洞而言，构成它的“分子”肯定是量子引力化的，当然它不是具体的什么“分子”，而是黑洞内某种未知的微观基础结构，而且是能不断变化的结构，物理学家称之为“自由度”（degrees of freedom），不过目前没人能窥得其庐山真面目。

一个“缺乏吸引力”的模型

一眼看上去，平面世界不像是探究上述问题的理想场所。阿伯特笔下的扁平王国有很多定律，但其中并不包括引力定律。1963年，波兰物理学家安杰伊·斯塔鲁斯基维茨（Andrzej Staruszkiewicz）利用广义相对论，找到了扁平王国中引力可能呈现的规律。他发现平面世界的大质量物体，会将周围的2维空间弯曲成锥状，就像一张用纸卷成的喇叭筒。如果有东西穿过这个锥面的轴线，它会发现自己的轨迹被偏折了，这跟太阳让彗星的轨道发生偏折很相似。1984年，美国布兰迪斯大学（Brandeis University）的斯坦利·德赛（Stanley Deser）、麻省理工学院的罗曼·贾基夫（Roman Jackiw）和荷兰乌德勒支大学（Utrecht University）的杰拉德·特·胡夫特（Gerard ’t Hooft）一起，弄清了量子化粒子在这种锥面空间中的运动方式。

在我们的3维宇宙中，引力导致的空间弯曲会呈现各种复杂形状，但平面世界的几何就要简单得多。扁平王国中没有与牛顿万有引力定律等价的东西，在那里两个静止物体不会由于相互吸引而逐渐靠近。物理学家真要喜极而泣了，因为它意味着将斯塔鲁斯基维茨的理论量子化，要比将3维空间中完整版的广义相对论量子化来得容易。但天不遂人愿，斯塔鲁斯基维茨的理论太过简单，根本没有什么可以拿来量子化。一个2维空间也没有余地，来容纳爱因斯坦理论的重要成员：引力波（gravitational wave）。

为简单起见，我们以电磁波为例。电场和磁场由电荷和电流产生，但正如麦克斯韦指出的，这些场能脱离产生它们的源，以波的形式自由传播，光就是自由传播的电磁波。在麦克斯韦理论的量子版本中，电磁波变成光子，即光的最小能量单位。同样，在广义相对论中，引力场也能脱离引力源成为自由传播的引力波，因此物理学家普遍相信，一个量子化的引力理论中应该包括传递引力的粒子，他们称之为引力子（graviton）。

此外，光还有偏振性，这意味着它的电场分量，只在垂直于传播路径的某个方向上振荡。引力波同样也有偏振性，但方式更为复杂：引力场不是沿着一个而是同时沿着两个垂直于传播路径的方向振荡（参见第43页图文框），这一要求在平面世界中无法满足，因为在2维世界中，只要传播方向确定了，就只剩下一个与之垂直的方向了。因此引力波及其量子化的引力子没法挤进2维空间中。

由于上述缺陷，斯塔鲁斯基维茨的发现逐渐沉寂，只是偶尔受到关注。直到1989年，美国高等研究院的爱德华·维腾（Edward Witten）开始进入这个领域。人们普遍认为，维腾是世界上顶尖的数学物理学家，当时他正在研究一类特殊的场，波动在这类场中无法自由传播。他意识到，2维引力就属于这类场，并为后来的研究者引入了一个重要工具：拓扑学（topology）。

环面国里的引力

维腾的发现是，即便引力无法以波的形式传播，它仍可对空间的整体构形产生巨大影响。这种效应在一个2维平面世界中不会显现，它需要更复杂的拓扑结构。什么是拓扑？以冰雕为例，随着冰雕慢慢融化，雕塑的细节逐渐模糊，但一些基本特征比如窗户、桥洞之类会基本维持不变，拓扑就是描述这类不变特征的数学工具。如果一个面能光滑地变换成另一个面，不需要进行切割、扭曲或黏合，这两个面就具有相同的拓扑，比如说一个半球面和一个碟子在拓扑上就是相同的，因为只要沿着直径方向拉伸半球面，就能得到一个碟子。而球面则具有不同的拓扑，你需要挖掉一块才能把球面变成半球面或碟子。像甜甜圈一样的圆环面又有另一种拓扑，咖啡杯表面也属此类，杯把部分看上去就类似一个圆环面，而杯子的其余部分可以平滑连续地收缩成圆环面上的一点，中间无须进行切割或者扭转，因此数学家一直打趣说，搞拓扑的分不清什么是甜甜圈，什么是咖啡杯。

圆环面尽管看上去是弯曲的，但如果考虑其内在几何而不是外部形状，它实际上可以看作平面，圆环面的特征在于你能用两种完全不同的方式环绕圆环面，一种是绕着中间的圆孔在圆环面上画一个圈，另一种是穿过中间的圆孔画一个圈。玩过红白机上《坦克大战》游戏的人肯定很熟悉这个性质，进入屏幕下方的坦克会从上方出来，进入右边会从左边出来。《坦克大战》的屏幕在几何上是平面，遵从诸如平行线永远不会相交之类的平面几何性质，但在拓扑上它等价于一个圆环面。

实际上，有无穷个此类圆环面存在，它们在几何上都属于平面，但又可以通过一个被称为模数（modulus）的参数来加以区别。在这样的圆环面宇宙中，引力的作用是导致模数随时间变化。圆环面在宇宙大爆炸中以直线形式出现，然后随着宇宙的膨胀逐渐张开，几何上越来越接近方形平面（参见第45页图文框）。从维腾的结果出发，我发现此过程能被量子化，从经典引力理论得到一个量子引力理论。平面世界的量子引力中没有引力子，有的是形状不断变化的圆环面。这幅图景偏离了量子理论固有的微观理论的形象，实际上，2维世界的量子引力理论将整个宇宙作为单一对象来进行描述。只要认识到这一点，我们就能构造出充足的模型，研究一些与量子引力基本概念有关的问题。

寻找时间

比如，平面引力能向我们展示，时间如何从一个无时间的根本实在中“涌现”出来。在该理论的某种形式中，整个宇宙由一个单一量子波函数（wave function）描述，有点类似于物理学家用波函数来描述粒子和原子。这个宇宙波函数不依赖于时间，因为它本身已经包含了所有时间：过去、现在和未来。那这个“无时间”的波函数又如何产生我们看到的各种变化呢？答案在于牢记爱因斯坦的名言：所谓时间乃时钟测量之结果。这意味着，时间并不能超然宇宙之外，它由宇宙的某个子系统决定，而且这个子系统与宇宙的其余部分存在关联，正如你身边墙上的挂钟与地球自转存在关联一样。

平面量子引力理论本身给时钟提供了很多选择，每种选择都是一个对“时间”的不同定义。“方块先生”可以用卫星上的原子钟来定义时间，就像GPS卫星上携带的那种。他也可以用一根从大爆炸开始延伸的曲线的长度来定义时间，或者用宇宙的尺度来定义时间，还可以用宇宙膨胀引起的红移（redshift）量来定义时间。无论用何种方式，一旦他选择了某种时间定义，所有其他物理量就自动随该时钟的时间变化。举例来说，圆环宇宙的模量（modulus）与该宇宙的尺度有关，而“方块先生”认为，这显示了宇宙随时间的演化，于是本来一个无时间的宇宙，就由理论自我引导出一个时间来。虽然这都不是什么新想法，但环面国的量子引力至少给我们提供了一个舞台，在这里，我们可以通过数学来证实，这种设想不仅很美妙，而且还有效。通过分析我们发现，有些时间的定义方式会带来一些额外效果，比如可能导致空间褶皱。

至于“观测者难题”，环面国也能应付，它为我们提供了一套客观的可观测量，比如说模数。问题在于，这些量并不是定域的，它们并不针对某个特定空间位置，而是对整个空间结构的描述。“方块先生”在环面国测量的任何东西，最终都可归结到这些非定域量。2008年，德国埃尔朗根—纽伦堡大学（University of Erlangen-Nürnberg）的凯瑟琳·穆斯伯格（Catherine Meusburger）找到了将这些模数与时间延迟、光线红移等一些宇宙学可观测量联系起来的方法。后来我发现，这些模数还可以与物体的运动相联。

平面世界的引力还给虫洞爱好者带来了一些好消息：在虫洞理论中，至少有一种构想允许空间发生拓扑变化。“方块先生”可以今晚在球面国入睡，明天却在环面国醒来，这相当于在宇宙中远离的两点之间制造出一条捷径，也就是所谓的虫洞。不仅如此，某些理论形式甚至允许我们从虚无中创造出一个宇宙，在拓扑上这可是翻天覆地的巨变。

宇宙的边际

由于平面世界的引力先天受限，这个领域的专家（包括我在内）曾一度认为不可能有2维黑洞存在。但是在1992年，智利天主教大学的马西莫·巴那多斯（Máximo Bañados），以及智利科学研究所的克劳迪奥·本斯特[Claudio Bunster，当时还叫克劳迪奥·泰特尔鲍姆（Teitelboim）]和乔治·加扎内利（Jorge Zanelli）震惊了世界，最起码也是震动了量子引力这个小圈子，他们发现2维量子引力中可以出现黑洞，只要这个宇宙具有某种形式的暗能量。

这种被称为BTZ黑洞（BTZ来自上述三人名字首字母）的东西，非常类似我们真实宇宙中的黑洞：它由无法抵抗自身引力的物质塌缩而成，周围同样围绕着一个一旦进入就万劫不复的事界（event horizon）。对一个外部观测者而言，事界就如同宇宙的边际，任何掉入事界的东西都彻底和我们隔离开。不仅如此，按照霍金的计算，“方块先生”还能看到这个黑洞由于自身温度而发光，温度大小则取决于黑洞的质量和自转。

这个结果看上去很奇怪。因为缺乏引力波和引力子的平面引力，应该不具备能维持黑洞温度的引力自由度，但这个温度还是不期而至。原因在于，事界本身为2维空间带来了一些额外结构，这些结构在空的2维空间中是不存在的。事界是一些特定的位置，在数学上会给原先的理论增加一些额外的量，比如说扭动事界的振动会产生额外的自由度。让人惊叹的是，我们发现这些额外的自由度，恰好满足霍金理论的需要。

因为这些自由度来自事界，可以说处于平面世界的边际，所以它们可以用来对量子引力中迷人的全息原理（holographic principle）进行具体检验。全息原理认为，维度也许是一个可约概念，正如3维影像可以被全息图（holograph）记录在一张2维胶片中。很多物理学家怀疑一个d维世界的所有物理规则，都可由“d﹣1”维世界中的简单理论完整捕捉。作为统一广义相对论和量子力学的主流理论，弦论于上世纪90年代末引入了全息原理，为量子引力理论的构造带来了一种全新的尝试。

平面世界的引力，正好为这种尝试提供了一个简化的测试平台。就在4年前，维腾和现供职于加拿大麦吉尔大学（McGill University）的亚历山大·马隆尼（Alexander Maloney）再次震惊了物理学界。他们提出，在最简单的2维引力中，全息原理似乎无效，因为按照理论预测，黑洞会具有某些不可能的热力学性质。这个出乎所有人意料的发现表明，引力远比我们此前想象的微妙。紧随其后的，是对平面引力的新一轮研究热潮。也许只考虑引力本身还不够，还必须考虑引力和其他力和粒子的关系；也许爱因斯坦的理论需要修正；也许我们要想办法让某些定域自由度回到理论中；也许全息理论并不总是有效；也许空间像时间一样不是宇宙的基本属性。不管答案在哪，平面引力已经指出了一条道路，要不然我们很可能与之擦肩而过。

尽管我们无法制造出一个真正的2维黑洞，但还是可以通过实验，来检验对平面世界模型的一些预言。目前世界上有多个小组正在2维结构中寻找可以模拟黑洞的替代物，例如超音速流体能产生出一个让声波无法逃脱的声界（sonic horizon）。而且用束缚在固体表面的电磁波，实验人员已经能制造出一些模拟的2维黑洞（见本页图文框）。这些替代物应该能像真实的黑洞一样，产生量子辐射（请参见《环球科学》2011年第1期《霍金也许是对的》一文）。

平面世界的量子引力是物理学家的乐园，一个追寻真实世界量子引力理论的简单舞台。它已经在时间、可观测量和拓扑方面，传授给我们一些重要经验，可以应用到实际的3维引力之中。平面模型的深邃内涵，不断给我们带来惊喜：让我们认识到拓扑的重要，发现奇特的2维黑洞，面对奇异的全息性质。也许用不了多久，我们就能对“方块先生”和他的平面世界有一个更为完整的理解。